Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:
donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.
Si a = 1, la ecuación cuadrática es reducida. Si a = 0, entonces deja de ser una ecuación de segundo grado, y se transforma en una ecuación de primer grado:
Tipos de ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c).
Ecuaciones completas de segundo grado
Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax2 + bx + c = 0, es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo:
En este caso a = 2, b = 3 y c = 4.
En este caso a = 1, b = 10 y c = 20, pues el (-20) del lado derecho de la ecuación pasa al lado izquierdo cambiando de signo, así:
Ecuaciones incompletas de segundo grado
Cuando no existe el coeficiente de x, es decir, el término b, la ecuación toma la forma:
Ejemplos:
Cuando no existe el término independiente, es decir, el término c, la ecuación tiene la forma:
Ejemplos:
Raíces de una ecuación cuadrática
Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces que son los valores que debe tomar la incógnita, o sea x, para que la igualdad ax2+bx+c = 0 sea verdadera. Resolver una ecuación de segundo grado es buscar las raíces de la ecuación.
Las raíces de la ecuación cuadrática se calculan por la fórmula general:
La expresión dentro de la raíz cuadrada b2 - 4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Obsérvese que delante de la raíz de la discriminante está el signo ± (más/menos). Esto significa que, para hallar el valor de x, en un caso sumamos el valor de la discriminante, y, en otro caso, restamos. A esto nos referimos cuando decimos que hay dos raíces en la ecuación de segundo grado.
Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso
Para resolver una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, vamos a proceder de la siguiente manera:
- Identificamos los coeficientes a, b y c.
- Los sustituimos en la fórmula general.
- Calculamos x1 sumando el discriminante, y x2, restando el discriminante.
Debemos tener en cuenta que:
⇒ solo hay una raíz para la ecuación.
⇒ hay dos raíces con números reales.
⇒ no hay una solución real.
Ejemplo 1
Resolvamos la ecuación 3x2 - 5x + 2 = 0
- Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.
- Los sustituimos en la fórmula general:
Las respuestas son x1 = 1 y x2 = 2/3.
Hacemos la comprobación de la siguiente forma:
Como vemos, x1 = 1 satisface la ecuación.
De igual forma, x2 = 2/3 es otra de las soluciones correctas.
Ejemplo 2
Resolvamos la ecuación 8x + 5 = 36x2
- Los coeficientes son a = 36, b = -8, c = -5. Esto porque tenemos que arreglar la ecuación como un trinomio perfecto, y queda de la siguiente forma: 36x2 - 8x - 5 = 0
- Sustituimos los coeficientes en la forma general:
Las respuestas son x1 = 1/2 y x2 = -5/18.
Si hacemos la comprobación, obtenemos:
Ejemplo 3
Resolver la ecuación (5x - 4)2 - (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x - 2) + 27
Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la forma ax2 + bx + c = 0
En este caso tenemos que a = -1, b = -7, c = -6, entonces aplicando
sustituimos los valores:
Ejemplo 4
Para aplicar la fórmula, hay que llevarla a la forma ax2 + bx + c = 0
Tenemos entonces que a = 2, b = 1, c = -105
Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización
En este caso, vamos a aprovechar la propiedad del factor 0, esto es: si el producto de dos números es 0, al menos uno de los números es cero.
Paso 1: coloca la ecuación en su forma general, es decir, primero el término cuadrático, luego el lineal, después el independiente y cero del otro lado del igual.
Paso 2: usa la propiedad distributiva para factorizar el término de la izquierda.
Paso 3: utiliza la propiedad del cero para separar los factores. Así, x = 0 o x + 2 = 0
Paso 4: resuelve la ecuación lineal resultante.
En este caso, las soluciones son x = 0 o x = -2
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización:
Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.
Paso 2: factoriza.
Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores.
Paso 4: resuelve las ecuaciones lineales resultantes.
Ejemplo 2
Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:
Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.
Paso 2: factoriza.
Paso 3: aplica raíz cuadrada a cada miembro de la ecuación.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:
Paso 1: colocar la ecuación en formato normal.
Paso 2: factorizar.
Paso 3: resolver cada una de las ecuaciones lineales resultantes.
Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado
Cuando un problema da origen a una ecuación de segundo grado, al resolverla se obtienen dos valores para el término desconocido. En este caso, solo se acepta el valor que satisfaga las condiciones del problema.
Por ejemplo: A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Halla ambas edades.
Paso 1: establecer las condiciones del problema, en este caso, x es igual a la edad de A y x - 2 es la edad de B. Entonces tenemos que:
Paso 2: arreglar la ecuación al formato general:
Paso 3: factorizamos en este caso:
Paso 4: resolvemos las ecuaciones lineales resultantes:
Paso 5: se rechaza la solución x = -7 porque la edad no puede ser negativa. Entonces A tiene 9 años y B tiene 9 - 2 = 7 años.
Ejercicio
La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Halla las dimensiones del terreno.
Sea x = el ancho del terreno, entonces 2x = la longitud del terreno y el área del terreno es 2xx = 2x2
Si aumentando la longitud en 40 m, esta sería (2x + 40)m y aumentando el ancho en 6 m, este sería (x + 6)m. El área ahora será:
pero según las condiciones, esta nueva área sería el doble que la anterior 2x2; luego tenemos la ecuación:
Transponiendo y reduciendo:
Cambiando signos y dividiendo por 2, nos queda:
Resolviendo esta ecuación se halla que x = 30 y x = -4. Aceptamos la solución x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es 60 m.
Problemas resueltos
Problema 1
Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 pesos. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 pesos menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?
Problema 2
Una persona compró cierto número de libros por 180 pesos. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado un peso más. ¿Cuántos libros compró y cuanto le costó cada uno?
Problema 3
Los gastos de una excursión son 90 pesos; si desisten de ir tres personas, cada una de las restantes tendrá que pagar 1 peso más. ¿Cuántas personas van a la excursión y cuánto paga cada una?
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