Ejercicios de Conjuntos Numéricos (con respuesta explicada)
Revisado por Rafael C. Asth
Profesor de Matemática y Física
Los conjuntos numéricos incluyen los siguientes conjuntos: Naturales (ℕ), Enteros (ℤ), Racionales (ℚ), Irracionales (I), Reales (ℝ) y Complejos (ℂ). Con estos ejercicios comentados podrás evaluar tus conocimientos sobre este tema de Matemáticas.
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
a) Todo número entero es racional, y todo número real es un número entero.
b) La intersección entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales tiene 1 elemento.
c) El número 1,83333... es un número racional.
d) La división de dos números enteros es siempre un número entero.
Respuesta correcta: c) El número 1,83333... es un número racional.
Vamos a analizar cada una de las afirmaciones:
a) Falsa. En efecto, todo número entero es racional, ya que puede escribirse en forma de fracción. Por ejemplo, el número -7, que es entero, puede escribirse como -7/1. Sin embargo, no todo número real es entero; por ejemplo, 1/2 no es un número entero.
b) Falsa. El conjunto de los números racionales no tiene ningún número en común con los irracionales, ya que un número real es o bien racional o bien irracional. Por lo tanto, la intersección es un conjunto vacío.
c) Verdadera. El número 1,83333... es una expresión decimal periódica, ya que el dígito 3 se repite infinitamente. Este número puede escribirse en forma de fracción como 11/6, por lo tanto, es un número racional.
d) Falsa. Por ejemplo, 7 dividido por 3 es igual a 2,33333..., que es una expresión decimal periódica, por lo que no es un número entero.
Ejercicio 2
El valor de la expresión siguiente, cuando a=6 y b=9, es:
a) un número natural impar
b) un número que pertenece al conjunto de los números irracionales
c) no es un número real
d) un número entero cuyo valor absoluto es mayor que 2
Respuesta correcta: d) um número entero cuyo valor absoluto es mayor que 2.
Primero vamos sustituir las letras por los valores indicados y resolver al expresión:
Note que (- 6)2 es diferente de - 62, la primera operación puede hacerse como: (-6)2 = (- 6) · (- 6) = 36. Ya sin los paréntesis, solo el 6 está elevado al cuadrado, es decir - 62 = - (6·6) = -36.
Continuando la resoluçción, tenemos:
Observe que, como el índice de la raíz es un número impar (raíz cúbica), existe raíz de número negativo en el conjunto de los números reales. Si el índice de la raíz fuera un número par, el resultado sería un número complejo.
Ahora, vamos a analizar cada una de las opciones presentadas:
La opción a está equivocada, pues la respuesta es un número negativo que no forma parte del conjunto de los números naturales.
El número - 3 no es un decimal no periódico infinito, por lo tanto, no es un irracional; luego, la letra b tampoco es la solución correcta.
La letra c también es incorrecta, pues el número - 3 es un número perteneciente al conjunto de los números reales.
La opción correcta solo puede ser la letra d , y realmente el resultado de la expresión es un número entero y el módulo de -3 es 3 que es mayor que 2.
Ejercicio 3
En los conjuntos (A e B) del cuadro inferior, qué alternativa representa una relación de inclusión?
Respuesta correcta: a)
La alternativa "a" es la única en que un conjunto está incluido dentro de otro. El conjunto A incluye el conjunto B o el conjunto B está incluido en A.
Ejercicio 4
Tenemos el conjunto A = {1, 2, 4, 8 e 16} y el conjunto B = {2, 4, 6, 8 e 10}. De acuerdo con las alternativas, ¿dónde están localizados los elementos 2, 4 y 8?
Respuesta correcta: c).
Los elementos 2, 4 e 8 son comunes a los dos conjuntos. Por eso, están localizados en el subconjunto A ∩ B (A intersección con B).
Ejercicio 5
Dados los conjuntos A, B e C, ¿qué imagen representa A U (B ∩ C)?
Alternativa correcta: d)
La única alternativa que satisface la condición inicial de B ∩ C (por cuenta de los paréntesis) y, posteriormente, la unión con A.
Ejercicio 6
Se realizó una investigación para conocer el hábito de compra de los consumidores en relación a tres productos. La investigación obtuvo los siguientes resultados:
El 40% compran el producto A.
El 25% compran el producto B.
El 33% compran el producto C.
El 20% compran los productos A y B.
El 5% compran los productos B y C.
El 19% compran los productos A y C.
El 2% compran los tres productos.
Con base en estos resultados, responda:
a) ¿Cuál es el porcentaje de entrevistados que no compran ninguno de esos productos? b) ¿Cuál es el porcentaje de entrevistados que compran el producto A y B y no compran el producto C? c) ¿Cuál es el porcentaje de entrevistados que compran al menos uno de los productos?
Respuestas:
a) El 44% de los entrevistados no consume ninguno de los tres productos. b) El 18% de las personas que consumen los dos productos (A y B) no consumen el producto C. c) El 56% de los entrevistados consumen al menos uno de los productos.
Para resolver este problema, vamos a hacer un diagrama para visualizar mejor la situación. Debemos empezar siempre por la intersección de los tres conjuntos. Luego, incluiremos el valor de la intersección de dos conjuntos, y finalmente, la porcentaje de personas que solo compran una única marca de producto.
Se observa que en el valor del porcentaje de quienes consumen dos productos también está incluido el porcentaje de personas que consumen los tres productos. Por eso, en el diagrama indicamos el porcentaje de quienes consumen solo dos productos. Para ello, debemos restar el porcentaje de quienes consumen los tres productos del que consumen dos.
Por ejemplo, el porcentaje indicado que consume el producto A y el producto B es del 20%, sin embargo, en este valor está contabilizado el 2% relativo a quienes consumen los tres productos. Al restar estos valores, es decir, 20% - 2% = 18%, encontramos el porcentaje de consumidores que compran solo los productos A y B.
Considerando estos cálculos, el diagrama para la situación descrita quedará conforme a la figura siguiente:
a) La porcentaje de quienes no compran ningún producto es igual al total, es decir, 100% menos el porcentaje de quienes consumen algún producto. Así que debemos hacer el siguiente cálculo:
100−(3+18+2+17+2+3+11)=100−56=44%
Por lo tanto, el 44% de los entrevistados no consume ninguno de los tres productos.
b) El porcentaje de los consumidores que compran el producto A y B y no compran el producto C se encuentra haciendo la resta:
20−2=18%
Por consiguiente, el 18% de las personas que consumen los dos productos (A y B) no consumen el producto C.
c) Para encontrar el porcentaje de las personas que consumen al menos uno de los productos, basta con sumar todos los valores que constan en el diagrama. Así, tenemos:
3+18+2+17+2+3+11=56%
De esta manera, el 56% de los entrevistados consumen al menos uno de los productos.
Ejercicio 7
En el intervalo , los múltiplos de dos forman el conjunto A. En el intervalo , los múltiplos de tres forman o conjunto B.
a) Determine el conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A y B, simultaneamente.
b) Determine el conjunto numérico en el cual el conjunto C está contenido.
Respuestas:
a) Los números que pertenecen simultaneamente a los dos conjuntos son la intersección entre A y B.
Así, los elementos de C son los múltiplos comunes a 2 y 3 que pertenezcan al intervalo que lo determina.
Para facilitar a visualización, vamos a localizar estos números en la recta numérica, haciendo una aproximación a la segunda cifra decimal.
Haciendo una representación esquemática:
Así, el conjunto C está comprendido entre 11,3 y 23,8. Los múltiplos comunes de 2 y 3 comprendidos en este intervalo son:
b) El conjunto C está contenido en el conjunto Z de los números naturales.
Ejercicio 8
Un fabricante de cosméticos decide producir tres catálogos diferentes de sus productos, dirigidos a públicos distintos. Como algunos productos estarán presentes en más de un catálogo y ocupan una página completa, él decide hacer un conteo para reducir los gastos con originales de impresión. Los catálogos C1, C2 y C3 tendrán, respectivamente, 50, 45 y 40 páginas. Al comparar los proyectos de cada catálogo, verifica que C1 y C2 tendrán 10 páginas en común; C1 y C3 tendrán 6 páginas en común; C2 y C3 tendrán 5 páginas en común, de las cuales 4 también estarán en C1. Realizando los cálculos correspondientes, el fabricante concluyó que, para la elaboración de los tres catálogos, necesitará un total de originales de impresión igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Alternativa correcta: c) 118
Podemos resolver esta pregunta construyendo un diagrama. Para ello, vamos a comenzar con las páginas que son comunes a los tres catálogos, es decir, 4 páginas.
A partir de ahí, indicaremos los valores, restando los que ya han sido contabilizados. Así, el diagrama quedará conforme se indica a continuación:
Los valores fueron encontrados realizando los siguientes cálculos:
Intersección C1, C2 y C3: 4
Intersección C2 y C3: 5 - 4 = 1
Intersección C1 y C3: 6 - 4 = 2
Intersección C1 y C2: 10 - 4 = 6
Solo C1: 50 - 12 = 38
Solo C2: 45 - 11 = 34
Solo C3: 40 - 7 = 33
Para encontrar el número de páginas, basta sumar todos estos valores, es decir:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
Ejercicio 9
En este modelo de termómetro, los hilos registran las temperaturas mínima y máxima del día anterior y los hilos en color gris registran la temperatura ambiente actual, es decir, en el momento de la lectura del termómetro.
Por eso tiene dos columnas. En la columna de la izquierda, los números están en orden creciente, de arriba hacia abajo, de -30 ºC hasta 50 ºC. En la columna de la derecha, los números están ordenados de forma creciente, de abajo hacia arriba, de -30 ºC hasta 50 ºC.
La lectura se hace de la siguiente manera:
La temperatura mínima está indicada por el nivel inferior del hilo negro en la columna de la izquierda.
La temperatura máxima está indicada por el nivel inferior del hilo negro en la columna de la derecha.
La temperatura actual está indicada por el nivel superior de los hilos grises en ambas columnas.
¿Cuál es la temperatura máxima más aproximada registrada en este termómetro?
a) 5 ºC
b) 7 ºC
c) 13 ºC
d) 15 ºC
e) 19 ºC
Respuesta correcta: e) 19 ºC
Para responder la pregunta, basta con hacer la lectura de la escala de la columna de la derecha del hilo negro, que representa el registro de la temperatura máxima.
Ejercicio 10
El resultado de una encuesta electoral, sobre la preferencia de los votantes en relación a dos candidatos, fue representado mediante el Gráfico 1.
Al ser divulgado ese resultado en un periódico, el Gráfico 1 fue cortado durante la diagramación, como muestra el Gráfico 2.
A pesar de que los valores presentados están correctos y el ancho de las columnas es el mismo, muchos lectores criticaron el formato del Gráfico 2 impreso en el periódico, alegando que hubo perjuicio visual para el candidato B. La diferencia entre las razones de la altura de la columna B por la columna A en los gráficos 1 y 2 es:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Respuesta correcta: e) 8/35
Para resolver la pregunta, primero necesitamos encontrar la razón entre la altura de la columna B por la columna A en los dos gráficos. Estas razones se encuentran contando cuántas divisiones tiene cada columna.
Note que en el gráfico 1 la columna A está dividida en 7 "pedazos" iguales, mientras que la columna B en 3. En el gráfico 2 la columna A está dividida en 5 "pedazos" iguales y la columna B en solo 1.
Por lo tanto, las fracciones que representan las razones de la altura de la columna B por la columna A pueden ser indicadas por:
Ahora basta resolver la resta entre estas dos fracciones. Así, tenemos:
Ejercicio 11
Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagen utilizando una herramienta gráfica, será necesario escribir de manera algebraica el conjunto que representan los puntos de este gráfico.
Ese conjunto es proporcionado por los pares ordenados (x ; y) ∈ ℕ x ℕ, tales que
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Respuesta correcta: b) 0≤y≤x≤10
Note que la figura expresada en la pregunta, tanto en el eje y como en el eje x, comprende los números naturales (N×N) entre 0 y 10. Tenemos que: 0≤y≤10 y 0≤x≤10.
Así: y=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) y x=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Sin embargo, la figura representada es un triángulo. Para satisfacer esta condición, en los pares ordenados, y no podrá ser mayor que x.
Vea que los valores de y están limitados por la igualdad con los valores de x, formando la hipotenusa de este triángulo rectángulo: (0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),…,(10;10).
, los múltiplos de dos forman el conjunto A. En el intervalo 
, los múltiplos de tres forman o conjunto B.
