La matemática básica abarca los contenidos estudiados en la escuela durante la Educación Primaria y Secundaria, etapas que conforman la Educación Básica.
Desde el inicio de su aprendizaje, el alumno se introduce en los campos de la Matemática: Aritmética, Álgebra, Geometría, Estadística y Probabilidad. La equivalencia, el orden y la proporcionalidad son ideas fundamentales presentes en diversos temas.
Esta lista de ejercicios de Matemática Básica incluye la solución y explicación paso a paso para que puedas resolver tus dudas.
Números (Aritmética)
Ejercicio 1 — Adición y sustracción
En la finca de Morro Alto se producen naranjas. Nada más comenzar el periodo de recolección, ya se ha contabilizado una gran producción. La tabla siguiente muestra la producción en los tres primeros días.
Días de recolecta
Producción de naranjas
Lunes
3265
Martes
4127
Miércoles
2987
a) Cuál es la producción total en los tres primeros días?
b) De cuánto fue la caída de la producción entre el día de mayor y menor producción?
a)
La producción total durante los tres días fue de 10.379 naranjas.
b) 1.140 naranjas.
El día de mayor producción fue el martes, con 4.127 naranjas, y el día de menor producción fue el miércoles, con 2.987 naranjas. La diferencia es el resultado de restar estos valores.
Así pues, del martes al miércoles se produjo un descenso de la producción de 1.140 naranjas.
Ejercicio 2 - Multiplicación
Elisa está buscando un televisor para poner en el salón. Ha visto un anuncio de un modelo nuevo con la posibilidad de pagar al contado o a plazos.
¿Cuánto pagará Elisa de más si opta por el pago a plazos?
Respuesta: Pagará 306,00$ más.
Estrategia: restar el total a plazo del precio al contado.
Total del plazo
Para el pago a plazos, debemos multiplicar los plazos para hallar el total.
Diferencia entre los dos valores
Por lo tanto, al optar por el sistema de pago fraccionado, Elisa pagará 306,00 $ más que si optara por el sistema al contado
Ejercicio 3 — División
En un proyecto de construcción de un cine, los arquitectos evalúan la relación entre el número de filas y el número de asientos de cada fila. El proyecto inicial prevé un cine para 304 personas. Si se utilizan 19 filas, el número de asientos por fila será de:
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 13.
e) 12.
Respuesta correcta: c) 16.
Para determinar el número de butacas por fila debemos dividir el número total de butacas del cine, 304, entre el número de filas, 19. Por tanto, utilizando 19 filas, cada fila tendrá 16 butacas.
Por lo tanto, utilizando 19 filas, cada fila tendrá 16 asientos.
Ejercicio 4 — Fracción
En una gincana de vacaciones, 75 niños se inscribieron para participar en actividades recreativas. Para organizar los juegos y las actividades, comprueban el rango de edad de los inscritos y descubren que 2/5 de los niños tienen más de 12 años. ¿Cuántos participantes tienen menos de 12 años?
Respuesta: 45 niños.
Si 2/5 de los niños tienen más de 12 años, 3/5 tienen menos de 12 años, porque
Para calcular cuánto es 3/5 de 75, hacemos
De esta forma, 45 niños tienen menos de 12 años.
Ejercicio 5 — Operaciones con fracciones
Carlos, Roberto y Mauricio son hermanos. Decidieron desbrozar y cortar el césped de un campo de fútbol cercano a su casa para poder jugar en vacaciones. Hasta ahora, Carlos y Roberto han limpiado una parte cada uno.
Carlos, que es el más joven, ha desbrozado 1/5 del campo.
Roberto ha despejado 2/4 del campo.
¿Cuál de los hermanos va a despejar la mayor parte del campo?
Respuesta: Roberto despejará la mayor parte del campo.
Resolución: para determinar quién despejará la mayor parte del campo, tenemos que averiguar qué parte despejará Mauricio. Para comparar, las fracciones deben tener los mismos denominadores.
Estrategia: resta de la fracción que representa el área total del campo, la fracción (parte) que Carlos y Roberto ya limpiaron, la parte que queda es la de Mauricio.
Para sumar las cantidades que Carlos y Roberto han recortado, tenemos que igualar los denominadores de las fracciones. Para ello, determinamos el mínimo común múltiplo entre 5 y 4 mediante factorización.
El nuevo denominador de las fracciones será 20.
Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes, dividimos 20, que es el MMC, por el denominador de cada fracción original, y multiplicamos por los numeradores.
La fracción equivalente de Carlos será
Así, el nuevo numerador será 4, y la fracción será:
La fracción equivalente a la de Roberto, será
Así, el nuevo numerador será 10, y la fracción será:
En total. Carlos y Roberto ya han cortado
La fracción que representa a todo el campo es 20/20
Esto deja a Mauricio para limpiar
Como las tres fracciones tienen denominadores iguales, podemos comparar y averiguar cuál es mayor.
Assim, Roberto irá limpar a maior parte do campinho.
Ejercicio 6 — Múltiplos
Cada tres años, una ciudad organiza los Juegos Generales Universitarios, un acontecimiento deportivo competitivo que reúne a los mejores nombres del deporte local. Los últimos Juegos municipales se celebraron en 2020, el mismo año que los Juegos Olímpicos Internacionales de Japón. ¿En qué año se celebrarán simultáneamente los dos acontecimientos?
Respuesta: 2 032.
Los Juegos Olímpicos Internacionales se celebran cada 4 años y los Juegos Universitarios Generales cada 3 años. Escribiendo los años en que tendrán lugar las próximas ediciones, tenemos:
Vemos que el próximo año en el que se celebrarán simultáneamente los dos eventos será 2032.
Para determinar este año, tomamos el mínimo común múltiplo (MCC) entre 3 y 4, que son los intervalos de tiempo para cada acontecimiento.
Para calcular el MCC, factorizamos 3 y 4 y multiplicamos los divisores.
Como el MMC entre 3 y 4 es 12, el próximo año en que los dos eventos sucederán simultaneamente será:
2020 + 12 = 2032
Ejercicio 7 — Potenciación
Nuestra herencia genética puede depararnos más sorpresas de las que pensamos. Un árbol genealógico es un instrumento que nos permite registrar y organizar la historia de nuestros antepasados, en el que dibujamos dos «ramas» más con cada generación.
De este modo, con cada generación anterior, multiplicamos por dos el número de antepasados en relación con la anterior.
Si consideramos una media de veinte años para cada generación como el tiempo medio para generar nuevos descendientes, hace doscientos años, ¿cuántas personas figurarían en tu árbol genealógico en esta generación concreta?
Respuesta: 1.024 antepasados.
Como estamos considerando 20 años para cada generación, dentro de 200 años tendremos 10 generaciones.
1ª generación pasada: 2 personas (padres)
2ª generación pasada: 4 personas (abuelos)
3ª generación pasada: 8 personas (bisabuelos)
Queremos saber cuántos antepasados hay en una generación determinada. En el caso de esta pregunta, la décima.
Factorizando las respuestas de las 3 primeras generaciones, tenemos:
Ampliando este razonamiento, calculando una potencia de base 2, donde el exponente representa la generación que buscamos, determinamos la generación.
Así, para la décima generación, tenemos:
Por lo tanto, solo en la pasada décima generación, hubo 1.024 antepasados.
Ejercicio 8 — Números decimales y fracciones
En una carrera, cuatro competidores se disputan un puesto en la final del campeonato nacional. En un momento dado, estas son las fracciones que representan la distancia que ha recorrido cada atleta en la carrera.
a) En segundo lugar, los atletas A y D están empatados, porque las fracciones 3/4 y 6/8 son equivalentes, representan la misma cantidad, porque son fracciones equivalentes.
En relación con el primer puesto
0,8 - 0,75 = 0,05
b) La carrera completa se representa como una fracción cuando el numerador es igual al denominador. Para cada atleta tenemos:
La tienda Buen Precio vende un juego de cinco camisas a precio promocional. Cada unidad cuesta 31,45 $ y el conjunto de cinco camisas sale por el precio de cuatro. Si eliges el conjunto, puedes fraccionar el precio en tres cuotas sin intereses. ¿Cuánto costará el fraccionamiento?
Respuesta: 41,93 $.
El precio de cuatro camisas:
Dividiendo entre tres partes:
Siendo una décima periódica, haremos una aproximación.
Si el periodo es superior a 5, lo aproximamos a 41,94.
Si el período es menor que 5, lo aproximamos a 41,93.
El período, la parte que se repite, es 3. Como es menor que 5, aproximamos el precio del plazo a 41,93 $.
Álgebra
Ejercicio 10 — Porcentaje, intereses simples y compuestos
Un inversor compró 18.000,00 reales en bonos del Tesoro Nacional. Los bonos que compró son de renta fija, lo que significa que el rendimiento ya está acordado en el momento de la compra. El tipo acordado fue del 0,08% p.m. (al mes), utilizando el sistema de interés simple.
Una alternativa sería invertir la misma cantidad en otros productos financieros utilizando el sistema de interés compuesto.
Considerando 12 meses con la misma cantidad invertida, si el inversor optara por el sistema de interés compuesto con el mismo tipo mensual, ¿cuál sería la diferencia entre las cantidades de los dos sistemas?
Respuesta: La diferencia será de 78,10 $.
Paso 1: averiguar el rendimiento de la inversión en el sistema de interés simple, en Bonos del Tesoro Nacional. Este rendimiento es el interés.
Datos:
Sistema de interés simple;
Tasa (i): 0,8% por mes = 0,008 por mes
Tiempo de inversión (t): 12 meses
El importe, M, es el capital inicial invertido, C, más el interés, J.
M = C + J
El interés es la multiplicación del capital, el tipo y el tiempo.
J = C.i.t
J = 18 000.0,008.12 = 1 728
El importe será:
M = 18 000 + 1 728 = 19 728
Paso 2: Conocer el rendimiento en el sistema de interés compuesto.
En el sistema de interés compuesto, el importe se calcula como:
Sustituyendo los valores:
3° paso: calcular a diferencia entre el interés simple y el compuesto.
19 806,10 - 19 728 = 78,10
Por tanto, la diferencia será de 78,10 $.
Ejercicio 11 — Ecuación de 1º grado con una incógnita
Bianca aprovechó un domingo soleado para dar un paseo con sus dos hijas. Compró un helado para cada niña y una botella de zumo para ella, que le costó 5 $. Pagó todo con un billete de 50 $ y recibió 36 $ de cambio. Utiliza una ecuación para describir esta situación y, a continuación, determina el precio de cada helado.
Respuesta: El helado cuesta 4,50 $.
Si llamamos x al precio del helado, dos helados serán 2x.
La ecuación queda así:
Para resolver una ecuación de 1º grado, debemos colocar los términos con letras a un lado de la igualdad.
Así, cada sorbete costó 4,50 $.
Ejercicio 12 — Sistema de ecuaciones de 1º grado con dos incógnitas
Un coche flexifuel puede utilizar una mezcla de alcohol y gasolina sin causar problemas mecánicos. El conductor de un coche flexifuel repostó 30 litros de combustible, mezclando gasolina y alcohol. Pagó un total de 190,00 $. En esta gasolinera, los precios de la gasolina y el alcohol son de 8,00 y 5,50 $, respectivamente. ¿Cuántos litros de cada combustible repostó?
Respuesta: 10 litros de gasolina y 20 litros de alcohol.
Cuando tenemos dos incógnitas, necesitamos dos ecuaciones para resolver un sistema.
Queremos saber cuántos litros de alcohol (a) y gasolina (g) se han repostado.
Ecuación del precio
Ecuación de cantidad
Sabemos que el número total de litros era 30, por tanto
Utilizando el método da sustitución, aislamos g en la ecuación II.
g = 30 - a
Sustituimos el valor de g, en la ecuación I y resolvemos para a.
Por tanto, se han llenado 20 litros de alcohol. Para determinar la cantidad de gasolina, basta con sustituir en la ecuación II
g + a = 30
g + 20 = 30
g = 30 - 20
g = 10
Por lo tanto, se han llenado 10 litros de gasolina
Ejercicio 13 — Ecuación de 2º grado
Un club va a utilizar una superficie cuadrada para construir una piscina de 12 m x 12 m. Alrededor de la piscina se instalará un suelo antideslizante, como en la ilustración.
El proyecto inicial que ha recibido el instalador solo muestra la superficie que se va a cubrir con el suelo antideslizante, 52 m².
Dado que la anchura de todo el pavimento alrededor de la piscina permanece constante, ¿cuál es la anchura de este pavimento?
Considerando el área de la piscina más el área del pavimento, tenemos:
Superficie del pavimento = 52 m²
Superficie de la piscina = 12 x 12 = 144 m²
Superficie total = 52 + 144 = 196 m²
Si nos fijamos en el cuadrado exterior del pavimento, sus dimensiones laterales son:
Medida lateral = x + 12 + x = 2x +12
El área total se puede obtener a partir del producto de los lados y es igual a 196 m².
Utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación para multiplicar todos los términos entre paréntesis.
Juntando los termos semejantes:
Llevando 340 al primer miembro de la ecuación:
Para determinar la anchura x del pavimento, tenemos que resolver la ecuación de segundo grado, es decir, determinar sus raíces.
Una ecuación de segundo grado tiene la forma .
Los términos de esta ecuación de segundo grado son:
a = 4
b = 48
c = -52
Como todos los coeficientes son divisibles por 4, podemos simplificar la ecuación:
a = 4 / 4 = 1
b = 48 / 4 = 12
c = -52 / 4 = -13
El discriminante (delta) de la ecuación es igual a:
Utilizando a Fórmula de Bhaskara:
Sustituyendo los valores:
Como se trata de una medida, descartamos la raíz x1 por ser negativa.
Por lo tanto, la anchura de la acera es de 1 m.
Ejercicio 14 — Función lineal
Una marca de gafas está evaluando la posibilidad de abrir una nueva fábrica y, para ello, está analizando los costes de fabricación por cantidad de gafas producidas. Tras un estudio de los proveedores, la marca ha conseguido minimizar el coste de las materias primas y una unidad costará 8,50 $.
Además de los costes por unidad, hay costes fijos como alquiler, salarios, energía e impuestos. El total de estos asciende a 20.000,00 $ al mes.
a) Escriba la ley de una función que relacione el capital necesario para producir una cantidad de x unidades.
b) Dibuja la gráfica de esta función.
c) Si se producen 1.000 gafas, ¿cuál es el precio mínimo al que deben venderse para pagar al menos los costes sin que el fabricante obtenga beneficios o pérdidas?
a) C(x) = 20 000 + 8,5x
b)
El gráfico muestra que, aunque no se produzcan gafas, el coste es de 20.000 $. A partir de ahí, el costo aumenta linealmente, a razón de 8,50 $ por par de gafas producido.
c) 28,50 $.
Paso 1: calcular el coste de producción de 1.000 gafas.
Sustituyendo en la función, el coste de fabricación de 1 000 gafas es:
Paso 2: calcular el precio de cada par de gafas para que se pague el coste.
Así, para que se pague el coste, tendrás que vender las 1.000 gafas a 28,50 $ cada una.
Ejercicio 15 — Relación, cantidades proporcionales y regla de tres
Con la llegada del verano, los clubes con piscina se preparan para recibir a muchos socios los fines de semana. En un club, se ha llevado a cabo el mantenimiento de la piscina principal, que tiene una capacidad de 86.400 litros, por lo que ha habido que vaciarla. Se tardarían tres días en llenarla con el caudal habitual, pero como el club tiene una necesidad urgente, el caudal se multiplicará por seis. ¿Cuándo se llenará la piscina?
Respuesta: la piscina se llenará en 12 horas con el nuevo caudal.
Con el caudal habitual, 86.400 litros se llenan en tres días, es decir, en 72 horas.
24 x 3 = 72
El caudal es:
Aumentando el caudal seis veces, este será de:
1 200 x 6 = 7 200 L / h
Por la propiedad fundamental de las proporciones, multiplicando transversalmente:
Por lo tanto, la piscina estará llena en 12 horas con el nuevo caudal.
Geometría
Ejercicio 16 — Circunferencia
El planeta Tierra tiene um radio de cerca de 6 371 km. Si consideramos la Tierra como una esfera perfecta, ¿cuál es la longitud de su circunferencia? A tener en cuenta: .
La longitud de una circunferencia se calcula mediante el cociente:
Sustituyendo los valores, tendremos:
Se trata de un valor aproximado porque el número es irracional, por lo que tiene infinitas posiciones decimales y solo estamos considerando las dos primeras posiciones después de la coma.
Ejercicio 17 — Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo
En la figura, determine la medida del ángulo , sabiendo que el segmento es perpendicular a .
Respuesta: el ángulo mide 101°.
La suma de los ángulos internos de um triángulo es igual a 180º. De esta forma, en el triángulo ABD tenemos:
53° + 90° + x = 180°
x = 180° - 90° - 53°
x = 37°
En el triángulo BDC, tenemos:
90° + 26° + y = 180°
y = 180° - 90° - 26°
y = 64°
Por tanto, la medida del ángulo es:
Ejercicio 18 — Geometría analítica, distancia entre dos puntos
Determine la distancia entre los puntos A e B.
Respuesta: 4,74 unidades de longitud.
Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano, utilizamos el Teorema de Pitágoras.
Usando el Teorema de Pitágoras, que dice: «El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».
Donde la hipotenusa es h y los lados son:
5 - 1 = 4
y
2 - 1 = 1
Siendo así, la distancia entre los puntos A y B es . Aproximando la raíz cuadrada obtenemos: 4,12 unidades de longitud.
Ejercicio 19 — Volumen del cilindro y de la esfera.
Se introducen tres pelotas de béisbol en un cilindro, perfectamente ajustadas sin deformarse. Las pelotas de béisbol, que tienen un diámetro de 7,6 cm, tocan las superficies interiores del cilindro por los lados y las bases.
Determina el volumen del espacio vacío que queda en el interior del cilindro. Considera .
Respuesta: el volumen es de aproximadamente 329 cm³.
El espacio vacío es el volumen del cilindro menos los volúmenes de las bolas.
Espacio vacío = volumen del cilindro - 3x volumen de una bola
Etapa 1: Determina el radio y la altura del cilindro.
Radio: como el diámetro del cilindro coincide con el diámetro de las pelotas de béisbol, el radio del cilindro también coincide con el radio de las pelotas.
radio = diámetro / 2
radio = 7,6 / 2 = 3,8 cm
Altura: la altura del cilindro es igual a los tres diámetros de las pelotas.
altura del cilindro = 3 x diámetro de una bola.
altura del cilindro = 3 x 7,6 = 22,8 cm
Paso 2: Determina el volumen del cilindro.
Volumen del cilindro = área de la base por la altura
Como la base es un círculo, su área es:
De esa forma, el volumen del cilindro es:
Sustituyendo los valores
3º paso: calcular el volumen de las esferas.
Sustituyendo los valores:
Como son tres bolas:
3 x 219,488 = 658,464 cm³
4º paso: resta el volumen de las bolas del volumen del cilindro.
Espacio vacío = volumen del cilindro - volumen de las bolas
Espacio vacío = 987,696 cm³ - 658,464 cm³
Espacio vacío = 329,232 cm³
Esto significa que el espacio vacío que queda en el cilindro es de aproximadamente 329 cm³.
.
, sabiendo que el segmento 
es perpendicular a 
.
.
