12 Ejercicios de Media, Moda y Mediana (ejemplos resueltos)
Rafael C. Asth
Profesor de Matemática y Física
Estudia moda, media y mediana con ejercicios resueltos y explicados paso a paso. Resuelve tus dudas y prepárate para los exámenes y las pruebas de ingreso.
Ejercicios de Mediana
Ejercicio 1
En un consultorio de pediatría, un médico atendió a nueve niños en un día. Midió y registró las alturas de los niños durante las consultas.
1.ª consulta
0,90 m
2.ª consulta
1,30 m
3.ª consulta
0,85 m
4.ª consulta
1,05 m
5.ª consulta
0,98 m
6.ª consulta
1,35 m
7.ª consulta
1,12 m
8.ª consulta
0,99 m
9.ª consulta
1,15 m
Determina la mediana de las alturas de los niños en las consultas.
Respuesta correcta: 1,05 m.
La mediana es una medida de tendencia central. Para determinar la mediana, debemos organizar los datos de menor a mayor.
0,85 m, 0,90 m, 0,98 m, 0,99 m, 1,05 m, 1,12 m, 1,15 m, 1,30 m, 1,35 m
La mediana es el valor central, que en este caso es el quinto valor: 1,05 m.
Ejercicio 2
El gerente de una concesionaria presentó la siguiente tabla en una reunión con directivos. Se sabe que al finalizar la reunión, con el objetivo de elaborar metas y planes para el próximo año, el administrador evaluará las ventas en función de la mediana del número de automóviles vendidos durante el período de enero a diciembre.
Mes
Número de automóviles vendidos
Enero
25
Febrero
20
Marzo
30
Abril
35
Mayo
40
Junio
50
Julio
45
Agosto
35
Septiembre
60
Octubre
55
Noviembre
70
Diciembre
65
¿Cuál fue la mediana de los datos presentados?
a) 40,0
b) 42,5
c) 45,0
d) 47,5
e) 50,0
Respuesta correcta: b) 42,5
Para determinar la mediana, necesitamos organizar los datos de menor a mayor.
Como la cantidad de elementos es par, debemos calcular el promedio entre los dos valores centrales.
Por lo tanto, 42,5 es la mediana de los datos presentados.
Ejercicio 3
En una eliminatoria para la final de los 100 metros libres de natación en los Juegos Olímpicos, los atletas, en sus respectivos carriles, obtuvieron los siguientes tiempos:
Carril
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo
20,90
20,90
20,50
20,80
20,60
20,60
20,90
20,96
La mediana de los tiempos presentados en la tabla es:
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
d) 20,85.
e) 20,90.
Respuesta correcta: d) 20,85.
Para determinar la mediana, debemos ordenar los datos de menor a mayor.
Si el conjunto de datos es impar, la mediana será el valor central. Si el conjunto de datos es par, la mediana será el promedio de los dos valores centrales.
20,50
20,60
20,60
20,80
20,90
20,90
20,90
20,90
Por tanto, la mediana es 20,85.
Ejercicio 4
Los brasileños dispuestos a pagar tarifas diarias de hasta €11 mil (R$30,69 mil) por una suite están en el centro de atención en el mercado mundial de la hotelería de lujo.
Disputada por los hoteles más exclusivos, la clientela de Brasil ocupa el tercer puesto en el ranking de reservas de The Leading Hotels of the World (LHW). Esta etiqueta reúne algunos de los establecimientos más sofisticados del mundo.
De 2010 a 2011, los ingresos locales de LHW aumentaron un 16,26%.
El año pasado, la oficina brasileña estableció un récord de reservas de US$31 millones (R$66,96 millones).
Fuente: Leading Hotels of the World. (Los valores corresponden a la cotización del cambio en $ el día 1 de noviembre de 2012).
La mediana de los gastos, en millones de reales, de los turistas brasileños en hoteles de lujo de los países arriba mencionados, en 2011, es igual a:
a) 3,764
b) 3,846
c) 3,888
d) 3,924
e) 3,996
Respuesta correcta: e) 3,996
La mediana de los datos del gráfico es el promedio aritmético de los valores centrales, en dólares.
La mediana es de US$ 1,85 millones. Sin embargo, la pregunta pide los valores en reales.
El texto menciona que US$ 31 millones (dólares) equivalían a R$ 66,96 millones (reales).
Necesitamos determinar cuántos reales equivalen a un dólar. Para ello, realizamos la división:
De esta forma 2,16 es la tasa de conversión de dólar a real.
En reales, los brasileños gastaron 3,996 millones de reales.
Media
Ejercicio 5
La siguiente tabla muestra los precios en las carreras de moto taxi para diferentes barrios de la ciudad de Río de Janeiro, y la cantidad de viajes registrados en un día para cada barrio.
Barrios
Precio
Número de viajes
Méier
20 reales
3
Madureira
30 reales
2
Botafogo
35 reales
3
Copacabana
40 reales
2
Calcula la media de los precios de los viajes en este día.
Respuesta: 30,50 reales.
Dado que cada precio tiene una contribución diferente en la media debido a las cantidades de viajes que son diferentes para cada barrio, la media debe ser ponderada por la cantidad de viajes.
La media ponderada se calcula dividiendo cada precio multiplicado por sus respectivas cantidades de viajes, entre el total de viajes.
De esta manera, el precio medio de los viajes de este día fue de 30,50 reales.
Ejercicio 6
Un concurso está compuesto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 puntos. La puntuación final de cada candidato es el promedio de sus notas en las cinco etapas. La clasificación sigue el orden descendente de las puntuaciones finales. El criterio de desempate se basa en la puntuación más alta en la quinta etapa.
Candidato
Media en las cuatro primeras etapas
Puntuación en la quinta etapa
A
90
60
B
85
85
C
80
95
D
60
90
E
60
100
El orden de clasificación final de este concurso es:
a) A, B, C, E, D.
b) B, A, C, E, D.
c) C, B, E, A, D.
d) C, B, E, D, A.
e) E, C, D, B, A.
Respuesta correcta: b) B, A, C, E, D.
Necesitamos determinar la media de los cinco candidatos.
Escribimos e1 + e2 + e3 + e4 como la suma de las cuatro primeras notas de los candidatos.
Candidato A
Así
Media de las cinco etapas del candidato A
Ya hemos determinado la suma de las cuatro primeras etapas, que es igual a 360. De la tabla, sacamos la puntuación de la quinta etapa, 60.
Calculando la media tenemos:
La media de las puntuaciones del candidato A en las cinco primeras etapas fue de 84 puntos.
Repitiendo el razonamiento para los demás candidatos, tenemos.
Candidato B
En las cuatro primeras etapas
En las cinco etapas
Candidato C
En las cuatro primeras etapas
En las cinco etapas
Candidato D
En las cuatro primeras etapas
En las cinco etapas
Candidato E
En las cuatro primeras etapas
En las cinco etapas
En orden descendente de las puntuaciones, tenemos:
B
85
A
84
C
83
E
68
D
66
Ejercicio 7
La altura promedio de las 35 personas adultas de una aldea es de 1,65 m. Al analizar solo las alturas de los 20 hombres, la media es de 1,70 m. ¿Cuál es el promedio, en metros, de las alturas si consideramos solo a las mujeres?
a) 1,46
b) 1,55
c) 1,58
d) 1,60
e) 1,65
Respuesta correcta: c) 1,58
En la aldea hay 35 personas, siendo 20 hombres, por lo tanto, 15 son mujeres.
35 = 20 + 15
Media de la altura de las mujeres.
Llamando Sm a la suma de las alturas de las mujeres, tenemos:
Donde es la media de la altura de las mujeres.
Media de la altura de los hombres.
Donde Sh es igual a la altura de los hombres.
Media de todas las personas de la aldea.
Llamando a S, la suma de las alturas de todas las personas de la aldea, esta es la suma de las alturas de los hombres más las mujeres.
Para hacer la media de toda la aldea, tenemos:
Al substituir los valores de Sm y Sh tenemos:
Resolvemos la ecuación para X.
Si consideramos sólo a las mujeres, 1,58 m es la media de su altura.
Ejercicio 8
La media aritmética de todos los candidatos en un concurso fue 9,0. La de los candidatos seleccionados fue 9,8 y la de los eliminados fue 7,8. ¿Cuál es el porcentaje de candidatos seleccionados?
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 50%
e) 60%
Respuesta correcta: e) 60%
1er paso: determinar la proporción del porcentaje de los seleccionados
Debemos determinar la proporción de los seleccionados respecto al total de candidatos.
Siendo S el número de candidatos seleccionados y T el total de candidatos.
Sin embargo, el número T del total de candidatos es igual a la suma de los seleccionados más los eliminados.
T= S+E
Donde E es el total de eliminados.
De esta manera, la proporción que debemos determinar es:
2do paso: determinar una relación entre S y E
Tenemos que la media total fue 9. De esta forma:
Donde nT es la suma de todas las notas. Esta suma es la adición de las notas de los seleccionados nS, más las notas de los eliminados nE.
nT = nS + nE
Entonces:
También tenemos que:
y
Sustituyendo en la ecuación I, tenemos:
Escribiendo S en función de E:
3er paso: sustituir en la proporción
La proporción es:
Sustituimos la S
4to paso: Transformar en porcentaje
Para transformar en porcentaje, multiplicamos por 100.
Por lo tanto, 60% de los candidatos fueron seleccionados.
Moda
Ejercicio 9
En un cine, las palomitas de maíz se venden en envases de tres tamaños diferentes. Después de una proyección, la administración realizó un estudio para determinar cuál de los envases se vendió más.
En orden de ventas, estos fueron los valores registrados por la caja de las palomitas:
Con base en la moda de los valores, determina qué tamaño de envases de palomitas fue el más vendido.
Respuesta correcta: el tamaño de palomitas con una media de R$ 17,50 fue el más vendido.
La moda es el elemento que se repite con mayor frecuencia. Cada elemento se repitió:
11,40 tres veces
17,50 cinco veces
20,30 cuatro veces
Por lo tanto, las palomitas de tamaño mediano fueron las más vendidas, ya que el valor de R$ 17,50 es el que más se repite.
Ejercicio 10
Analiza el cuadro a continuación.
3
4
4
5
5
7
9
12
12
21
21
21
21
30
31
31
31
33
35
42
45
45
60
72
72
78
89
89
Marque la opción que presenta la moda de los datos en el cuadro anterior.
a) 9
b) 21
c) 30
d) 30,5
e) 31
Respuesta correcta: b) 21
La moda es el elemento que se repite con mayor frecuencia. El elemento 21 se repite 4 veces.
Ejercicio 11
Al iniciar sus actividades, un ascensorista registra tanto el número de personas que entran como el número de personas que salen del ascensor en cada uno de los pisos del edificio donde trabaja. El cuadro presenta los registros del ascensorista durante el primer ascenso desde la planta baja, desde donde parten él y otras tres personas, hasta el quinto piso del edificio.
Número de personas
Planta baja
piso 1
piso 2
piso 3
piso 4
piso 5
que entran al ascensor
4
4
1
2
2
2
que salen del ascensor
0
3
1
2
0
6
Basándonos en el cuadro, ¿cuál es la moda del número de personas en el ascensor durante el ascenso desde la planta baja hasta el quinto piso?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Respuesta correcta: d) 5.
Debemos considerar el número de personas que entran, el número que sale y el número de personas que permanecen.
Entraron
Salieron
Quedan en este piso
piso 5
7 ya estaban +2
6
7 + 2 - 6 = 3
piso 4
5 ya estaban +2
0
5 + 2 = 7
piso 3
5 ya estaban +2
2
5 + 2 - 2 = 5
piso 2
5 ya estaban +1
1
5 + 1 - 1 = 5
piso 1
4 ya estaban +4
3
4 + 4 - 3 = 5
Planta baja
4
0
4 - 0 = 4
Así, la moda es 5, ya que es el número de personas que se repite con mayor frecuencia.
Ejercicio 12
En el verano de 2018, una gran tienda de electrodomésticos registró la cantidad de unidades de ventiladores vendidas durante 10 días consecutivos en la siguiente tabla. Con esto, fue posible verificar el volumen de ventas por día y la variación del número de ventas de un día para el siguiente.
Número de unidades vendidas por día
Día 1
Día 2
Día 3
Día 4
Día 5
Día 6
Día 7
Día 8
Día 9
Día 10
46
53
38
45
49
53
47
47
51
53
¿Cuál es la moda de las variaciones en el número de ventas diarias durante el período considerado?
a) 53
b) 15
c) 7
d) 4
e) 2
Respuesta correcta: d) 4.
Las variaciones en el número de ventas son la diferencia entre un día y el anterior.
Día 2 - día 1
53 - 46
7
Día 3 - día 2
38 - 53
-15
Día 4 - día 3
45 - 38
7
Día 5 - día 4
49 - 45
4
Día 6 - día 5
53 - 49
4
Día 7 - día 6
47 - 53
-6
Día 8 - día 7
47 - 47
0
Día 9 - día 8
51 - 47
4
Día 10 - día 9
53 - 51
2
Dado que 4 es la diferencia que más se repite, 4 es la moda.
