Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión matemática conformada por letras, números y operadores que se usa para representar una situación particular. Por ejemplo, el perímetro de un círculo esta dado por la expresión algebraica:

π 2 r

En la que π es el número pi (aproximadamente 3.1516) y r es la medida del radio, estas tres cantidades se multiplican.

Podemos pensar en una expresión algebraica como una figura de legos, en la que los bloques son incógnitas que se ensamblan por medio de operadores, exponentes y paréntesis.

Partes de una expresión algebraica

Variables o incógnitas: son letras que representan cantidades concretas, es decir, números que por el momento desconocemos cuáles son. Encontrarás con más frecuencia el uso de las letras a,b, c o bien x, y, pero es válido usar cualesquiera. Por ejemplo, podemos llamar a y b a los lados de un rectángulo.

Coeficientes: son números que multiplican a las variables. Por ejemplo, si el lado de un rectángulo mide a, podemos plantear que la suma de dos lados iguales de un rectángulo es 2a.

Exponentes: son números que actúan como potencias de variables y coeficientes. Por ejemplo, el cuadrado de un lado del rectángulo es a².

Operadores: los operadores, como su nombre lo indica, operan variables coeficientes y exponentes para formar expresiones más grandes. Estos son suma, resta, multiplicación y división.

Paréntesis: sirven para denotar términos de la expresión algebraica que operan primero.

En el siguiente diagrama puedes ver ejemplos de las partes de una expresión algebraica que está formada por 2 términos: 3a y b.

Cómo hacer expresiones algebraicas

Observa las equivalencias entre lenguaje cotidiano y la expresiones algebraicas a las que corresponden. Luego combínalas para construir expresiones más complejas.

En la tabla que sigue considera que a, b y c son incógnitas.

Para combinar las expresiones anteriores es fundamental entender cuáles son las operaciones que se realizan primero, y cuáles después.

Por ejemplo, el triple del cuadrado de un número, quiere decir que se toma 3 veces un número al cuadrado, o sea 3 a². A diferencia del cuadrado del triple de un número, que sería (3a)² dónde primero se multiplica tres veces y luego se eleva al cuadrado. Estas expresiones no suelen ser equivalentes.

Ejemplos

1. La mitad del cuadrado de un número es (a²)/2
2. El cuadrado de la mitad de un número es (a/2)²
3. El doble de la suma de dos números es 2(a + b)
4. La suma del doble de dos números 2a + 2b
5. La raíz cuadrada de la diferencia de dos números √(a-b)
6. La diferencia de la raíz cuadrada de dos números √(a) -√(b)
7. El triple de la mitad de un número 3(a/2)
8. La suma de dos números a la cuarta potencia (a +b)⁴
9. La diferencia del doble de un numero y la mitad de otro 2a - b/2
10. La mitad del producto de tres cantidades (abc)/2

Cómo leer expresiones algebraicas

Ubica cuales son las variables, operadores, coeficientes y exponentes involucrados. Luego, observando las variables, determina qué es lo primero que las afecta, si en la expresión algebraica hay paréntesis, éstos pueden darte información importante.

Ejemplos

1. (a +b)³ Las variables aquí son a y b, que primero se suman (lo sabemos por los paréntesis) y luego se elevan al cubo, entonces la expresión se lee "el cubo de la suma de dos cantidades".
2. 2a²Aquí la variable es a, puesto que no hay paréntesis, a se eleva al cuadrado y luego se duplica, entonces se lee "el doble del cuadrado de un número a".
3. 3(a-b) Las variables aquí son a y b, que primero se restan y luego el resultado se triplica. La lectura de esta frase es "el triple de la diferencia de a y b".
4. a + (a+1) La variable es a, y si a es un número entero, entonces a +1 es su sucesor. La oración correspondiente es "la suma de a más su sucesor".
5. bc² Las variables involucradas son b y c, como no hay paréntesis, únicamente se eleva c al cuadrado y luego se multiplica por b. Se lee "el producto de b por c al cuadrado"
6. (bc)² Las variables son b y c, que se multiplican y después el resultado se eleva al cuadrado. La oración correspondiente es "el cuadrado del producto de b y c".
7. 2(3a+2b) Las variables son a y b, éstas primero son multiplicadas por sus coeficientes, luego sumadas y finalmente se duplica en resultado. Se lee como "el doble de la suma del triple de a mas el doble de b".
8. √(2b +2c) Las variables son b y c, éstas so duplicadas y luego sumadas, al resultado se le saca raíz cuadrada. La manera de leer esta expresión es "la raíz cuadrada de la suma del doble de b y el doble de c".
9. a² + b³ Las variables aquí son a y b, a es elevada al cuadrado, y b al cubo, luego se suman. Esto se lee como "la suma del cuadrado de a más el cubo de b".
10. 3√c³ +2c La variable en esta expresión es c, y es operada de dos maneras distintas, por un lado se eleva al cubo, se saca la raíz cuadrada y se multiplica por 3, y por otro lado se duplica, luego se suman ambos resultados. La lectura de esta expresión es "la suma del triple de la raíz cuadrada del cubo de c mas el doble de c".

Clasificación de expresiones algebraicas

De acuerdo a la cantidad de términos en una expresión, estas pueden ser:

Monomios.

Expresiones con 1 solo término. Ejemplos: 2x, 3a, b/2.

Binomios

Expresiones con 2 términos. Ejemplos: (2a-7), (x+y), (3b³-c)

Trinomios

Expresiones con 3 términos. Ejemplos: (x² + 2x -5), (a + b + c), (x² +bx +c)²

Polinomios

Expresiones con 2 o más términos, abarcan binomios y trinomios, pero tambien cantidades mayores de términos. Ejemplos: (4x² +3x-10), (2a + 3b + 4c + 5d), (ax⁴ +3x³ -5x² -x +12)

Valor numérico de una expresión algebraica

Una expresión algebraica usa letras porque desconoce los valores de las cantidades involucradas. Sin embargo, puede ocurrir que tomen un valor numérico, y entonces toda la expresión adquiere un valor numérico.

Ejemplos:

1. El doble de una cantidad es 2a. Si a = 3 entonces el valor de la expresión algebraica es el doble de 3, es decir 2*3 = 6.

2. Considera la expresión algebraica 2x-1. Si x = 5, entonces tenemos 2*5-1 = 10 -1 = 9.

3. ¿Cuánto vale la expresión 3a² +b si a = 6 y b = 2? Sustituyendo los valores en los lugares correspondientes se tiene 3(6*6) + 2 = 108 + 2 = 110.

Ejercicios

1. Escribe la expresión algebraica correspondiente a la oración el "triple del cuadrado de la suma de dos cantidades"

2. Escribe la expresión algebraica de la diferencia de la raíz cuadrada de dos cantidades a y b

3. Escribe la expresión algebraica que represente el doble de un número entero menos una cuarta parte de su sucesor

4. Encuentra el valor numérico de 3b³-c, si b = 2 y c = 1

5. Encuentra el valor numérico de 3b³-c, si b = 1 y c = 2

6. ¿Cómo se lee la siguiente expresión: 4(2a + b/2)?

7. ¿Cómo se lee la siguiente expresión: (√a - 3b)²?

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Silvia Pina-Romero

Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (2007) y doctora en Matemáticas por la Universidad de Manchester (2012).