En matemáticas, la jerarquía de operaciones se refiere al orden en que se deben realizar las operaciones matemáticas. Imaginemos la siguiente situación:
2 + 3 x 4 - 5 ÷ 5
Podríamos hacer el siguiente cálculo:
- primero sumamos 2 + 3, luego multiplicamos por 4, a eso le restamos 5, y finalmente dividimos por 5.
- O podríamos sumar 2 más 3, restar 4 y 5, multiplicar eso resultado y dividir al final por 5.
En cualquiera de los dos casos, el resultado es diferente. Por eso, existen unas reglas o instrucciones que se deben seguir para que una serie de operaciones matemáticas siempre sea resuelta de la misma forma. De esta forma, en la expresión 2 + 3 x 4 -5 ÷ 5 el resultado correcto es 13 porque:
- primero se realizan las multiplicaciones y divisiones: 3 x 4 = 12, 5 ÷ 5 =1
- luego se realizan las sumas y restas en el sentido de izquierda a derecha:
2 + 12 = 14, 14 - 1 = 13.
Clave para desarrollar la jerarquía de operaciones
Las operaciones matemáticas se realizan de la siguiente forma:
- Si hay paréntesis u otros signos de agrupación, se realizan primero esas operaciones.
- El siguiente orden es resolver los exponentes.
- El próximo paso es evaluar las multiplicaciones y divisiones.
- Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas.
Para recordar el orden de las operaciones, nos podemos valer de una regla mnemotécnica PEMDAS: Paréntesis, Exponentes, Multiplicaciones/Divisiones, Adiciones/Sustracciones.
Signos de agrupación en la jerarquía de operaciones
Los signos de agrupación indican que las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar. Estos son:
- paréntesis ( )
- corchete [ ]
- llaves { }
Las barras de fracciones —, las barras de valores absolutos | | y el símbolo de raíz √ también califican como signos de agrupación.
Ejemplos
1. 
En esta expresión primero tenemos que sumar lo que está dentro del paréntesis y luego ese resultado se multiplica por 5:
5 x (3 + 4) = 5 x (7)= 5 x 7= 35
Cuando aparecen varios signos de agrupación, el orden de resolución es el siguiente: primero los paréntesis, seguido de corchetes y al final las llaves, es decir desde adentro hacia afuera.
{[(3+4) + (4-3)] x (2 + 1)}
Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:
{[7 + 1]x 3}
Luego, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes:
{[7+1] x 3}= {8 x 3}
Finalmente, se desarrollan las llaves:
{ 8 x 3 } = 24
2. 
En este caso tenemos una barra de fracción, asi que realizamos las operaciones sobre y bajo la barra primero:
7+ 5 = 12 y 3 + 1 = 4, nos queda la fracción 12/4 que es igual a 3:
Operaciones de suma y resta en que no hay signos de agrupación
En este caso se realizan las operaciones en el orden que se presentan:
Ejemplo
1) 32-19+40-20+30-50
Hacemos las operaciones paso por paso:
32-19=13,
13+40=53,
53-20=33,
33+30=63,
63-50=13
2) 60-40+108-104+320-133-45
Hacemos las operaciones paso a paso:
60 - 40 = 20,
20 + 108 = 128,
128 - 104 = 24,
24 + 320 = 344,
344 - 133 = 211,
211 - 45 = 166.
Operaciones de suma y resta en que hay signos de agrupación
Se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis hasta que sólo queda un número:
678 - [(34 + 28) + (73 - 15) - (12 + 43)]⇒
34 + 28 = 62, 73 - 15 = 58, 12 + 43 = 55,
luego se resuelven las operaciones dentro del corchete:
62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,
Finalmente se realiza el resto de las operaciones;
678 - 65 = 613.
Operaciones de multiplicación, suma y resta en que no hay signos de agrupación
Cuando no hay signos de agrupación, se realizan primero las multiplicaciones, seguido de las sumas y las restas:
3 x 4 + 5 x 6 ⇒
3 x 4 = 12, 5 x 6 = 30,
12 + 30 = 42
Ejemplo
15 - 5 x 3 + 4, primero se realiza la multiplicación:
5 x 3 = 15;
luego las sumas y las restas en el orden que aparecen:
15 -15 + 4 ⇒15 - 15 = 0,
0 + 4 = 4.
Operaciones de multiplicación, suma y resta con signos de agrupación
En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:
(5 - 2) 3 + 6 (4 - 1) ⇒ las operaciones dentro de los paréntesis:
5 - 2 = 3,
4 - 1 = 3;
ahora se realizan las multiplicaciones correspondientes:
(3 )3 = 9 y 6 (3) = 18; finalmente se suman los dos términos obtenidos:
9+18= 27
Ejemplo
(20 - 5 + 2)(16 - 3 + 2 - 1)⇒ 20 - 5 = 15, 15 + 2 = 17;
16 - 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 - 1 =14;
luego multiplicamos los resultados obtenidos de los paréntesis:
17 x 14=238
Operaciones de división o multiplicación, suma y resta en que no hay signos de agrupación
En estos casos se realizan primero las divisiones y multiplicaciones, y luego las sumas y restas:
12 ÷ 3 x 4 ÷ 2 x 6; las divisiones son 12 ÷ 3 = 4 y 4 ÷ 2 = 2;
luego la expresión queda como 4 x 2 x 6 = 48.
Ejemplo
10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1⇒ primero realizamos las divisiones:
10 ÷5 = 2, 16 ÷ 8 = 2, 4 ÷ 4 = 1;
continuamos las operaciones indicadas en orden: 2 + 4 - 2 - 2 + 1 - 1
2 + 4 = 6, 6 - 2 = 4, 4 - 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2.
La respuesta final a 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 es 2.
Operaciones de división o multiplicación, suma y resta con signos de agrupación
En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:
150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2)⇒ primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:
25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;
luego realizamos las divisiones:
150 ÷ 50 = 3, 32 ÷ 16 = 2;
Finalmente hacemos la suma:
3 + 2 = 5.
Ejemplo
200 ÷ (8 - 6) (5 - 3)⇒ realizamos las operaciones entre paréntesis:
8 - 6 = 2, 5 - 3 = 2;
luego realizamos la división:
200 ÷ 2 = 100;
y finalmente la multiplicación:
100 x 2 = 200
La respuesta final a 150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2) es 200.
Operaciones con raíces √
El símbolo de radical √ también funciona como un signo de agrupación, por lo que se deben realizar primero las operaciones abrazadas por este símbolo:
Primero desarrollamos la suma debajo de la raíz cuadrada:
12 + 13 = 25; sacamos la raíz cuadrada de 25:
√25 = 5; a continuación se realiza la multiplicación:
4 x 5 = 20;
terminamos con la suma:
3 + 20 = 23.
Operaciones con exponentes
Las expresiones con exponentes también tienen prioridad sobre las otras operaciones.
60 - 3 x 4 + (1 + 1)2.
Realizamos la operación dentro del paréntesis:
(1+ 1)2 = 22 = 4;
Continuamos con la multiplicación:
3 x 4 = 12; terminamos las operaciones en el orden indicado:
60 - 12 + 4 = 52
Vea también:
Ejercicios para practicar el orden de las operaciones
Vea también Ejercicios de ecuaciones de primer grado .
