El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande que los divide a todos. Se abrevia como MCD.
Recordemos que un divisor es aquel número que cuando divide a otro, el resto de la división es igual a cero.
Por ejemplo, el número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12:
Si dividimos el 12 entre estos números tendremos un resultado exacto sin que haya resto en la división.
Todos los números naturales poseen al menos dos divisores: el 1 y el mismo. El menor divisor será siempre el número 1, y el mayor divisor es el propio número.
Cuando un número tiene apenas dos divisores, es decir, solamente es divisible por 1 y por sí mismo, tenemos un número primo.
Por ejemplo, el 3 solo es divisible por 1 y por 3, es un número primo. En cambio, el 4 es divisible por 1, por 2 y por 4, por lo que ya no es un número primo.
Atención: el cero (0) no es divisor de ningún número.
¿Cómo se saca el máximo común divisor?
Método 1: por divisiones sucesivas se buscan los divisores de cada número
Podemos buscar el MCD de dos números buscando sus divisores y detectando cuál es el divisor común mayor. Por ejemplo, el MCD de 20 y 24 es:
Se detecta el mayor número común entre ellos. En este caso es el 4. Asi, el MCD de 20 y 24 es 4.
Este método se complica cuando los números se van haciendo más grandes. Por eso, hay una forma más fácil de buscar el MCD.
Método 2 por descomposición en factores primos
Para calcular el MCD entre dos o más números, debemos realizar la descomposición de los números en sus factores primos a través de la factorización. La factorización es buscar cuáles números primos al multiplicarse dan como resultado un dado número.
Por ejemplo, vamos a descomponer en sus factores primos los números 20 y 24. Para eso trazamos una línea vertical, del lado izquierdo colocamos el número a dividir y del lado derecho colocamos el número primo divisor. De esta forma, del lado derecho está el 20 que es divisible por 2 (que está a la derecha). El resultado se escribe debajo del 20, en este caso, el 10. Esta operación la hacemos sucesivamente hasta llegar al 1, como se muestra abajo:
De esta forma, tenemos del lado derecho todos los números primos que dividen a un dado número. Cuando comparamos los factores primos entre 20 y 24, nos damos cuenta que los factores comunes entre el 20 y el 24 son 2x2=4. Es decir, el MCD de 20 y 24 es 4.
Vea también Factorización.
Ejemplos de máximo común divisor
1. El máximo común divisor de 18 y 24:
Los factores comunes entre 18 y 24 son 2 x 3 = 6. Entonces, el MCD de 18 y 24 es 6, que es el mayor número que divide tanto al 18 como al 24.
2. El MCD de 6, 12 y 15:
El MCD entre 6, 12 y 15 es 3, ya que ningún otra combinación de números primos es compartida entre los tres números.
3. El MCD de 35, 54 y 80:
El divisor común entre 35, 55 y 80 es 5, entonces el MCD (35,55, 80) es 5.
Propiedades del máximo común divisor
- Cuando factorizamos dos o más números, el MCD es el producto de los factores comunes a ellos. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6.
- Cuando tenemos dos números consecutivos entre sí, podemos concluir que el MDC de ellos es 1. Por ejemplo, 25 y 26:
El único divisor común es el 1.
- Cuando tenemos dos o más números y uno de ellos es divisor del otro, podemos concluir que este es el MDC de los números, por ejemplo 3 y 6.
Vea también Números primos.
Ejercicios de máximo común divisor
1. Un granjero sacó de un gallinero 36 huevos blancos y de otro 48 huevos rojos y quiere repartirlos de forma igualitaria sin tener que mezclarlos. ¿En cuántos grupos de igual número de huevos puede repartirlos?
Para esto tenemos que calcular el MCD de 36 y 48 por factores comunes:
Sabemos que el MCD(36,48) es 12, quiere decir que el granjero puede dividir de forma igual los 36 y 48 huevos. Asi, 36 huevos entre 12 es igual a 3 y 48 huevos entre 12 es igual a 4. El granjero tendrá entonces 7 grupos de huevos, 3 blancos y 4 rojos.
Respuesta: el granjero puede repartir los huevos en 7 grupos de 12.
2. En un colegio de CDMX hay 120 estudiantes en primaria, 144 en secundaria y 60 en media superior. En la semana cultural todos los estudiantes se organizan en equipos de igual número de elementos ¿Cuál es el número máximo de estudiantes por equipo?
Solución: se calcula el MCD de los tres números: 176, 144 y 80.
Los factores primos de 176, 144 y 80 son:
Los factores comunes a los tres números son 24 que es igual a 16. El MCD es 16.
Respuesta: el número máximo de estudiantes por equipo es 16.