Problemas de funciones trigonométricas (ejercicios resueltos)
Rafael C. Asth
Profesor de Matemática y Física
Practica las funciones trigonométricas con los siguientes problemas y ejercicios. Los hemos preparado para que puedas mejorar tus conocimientos en esta importante área de la matemática.
Problema 1
Una función periódica se repite a lo largo del eje x. En el gráfico a continuación, tenemos la representación de una función del tipo . El producto de A ω es:
Opciones:
a) 2
b) 6
c) 2 π
d) 4
Correcta: d) 4
Respuestas explicada: La amplitud es el módulo de la medida entre la línea de equilibrio (y = 0) y una cresta (punto más alto) o un valle (punto más bajo).
Así, A = 2.
El período es la longitud en x de una onda completa, que en el gráfico es simplemente π.
El coeficiente de x se puede obtener de la relación:
El producto entre A y ω es:
Problema 2
La función real definida por tiene periodo de 3 π y un rango de [-5,5]. La ley de función es:
Opción: a)
Respuesta explicada: En la función trigonométrica sen x o cos x, los parámetros A y ω modifican sus características.
Determinación de A
A es la amplitud y altera el rango de la función, es decir, los puntos máximos y mínimos que la función alcanzará.
En las funciones seno x y coseno x, el rango es [-1, 1]. El parámetro A es un amplificador o compresor del rango, ya que multiplicamos el resultado de la función por él.
Siendo el rango [-5, 5], A debe ser 5, ya que:
Determinación de
El ω está multiplicando a x, por lo tanto, modifica la función en el eje x. Comprime o estira la función de manera inversamente proporcional. Esto significa que altera el período.
Si es mayor que 1, comprime; si es menor que 1, estira.
Al multiplicar por 1, el período siempre es 2π; al multiplicar por ω, el período se vuelve 3π. Se escribe la proporción y resuelve la regla de tres:
La función es:
Problema 3
Entre los gráficos a continuación, el que representa correctamente la función es:
a)
b)
c)
d)
Opción correcta: a)
Problema 4
Un cometa con órbita elíptica pasa cerca de la Tierra en intervalos regulares descritos por la función donde t representa el intervalo entre sus apariciones en decenas de años. Supón que la última aparición del cometa fue registrada en 1982. Este cometa pasará cerca de la Tierra nuevamente en:
a) 2025
b) 2035
c) 2075
d) 2095
Opción c) 2075
Respuesta explicada:
Necesitamos determinar el período, el tiempo para un ciclo completo. Este es el tiempo en décadas para que el cometa complete su órbita y regrese a la Tierra.
El período puede ser determinado por la relación:
Expresando T
El valor de ω es el coeficiente de t, es decir, el número que multiplica a t, que en la función dada por el problema es
Considerando sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
9,3 décadas es igual a 93 años.
Dado que la última aparición ocurrió en 1982, tenemos:
1982 + 93 = 2075
Conclusión: el cometa pasará nuevamente en 2075.
Problema 5
En 2014 se inauguró la rueda de la fortuna (noria) más grande del mundo, la High Roller, ubicada en Las Vegas. La figura representa un bosquejo de esta noria, en la que el punto A representa una de sus sillas:
Adaptada de: en.wikiperdia.org (2014)
A partir de la posición indicada -en la cual el segmento OA se encuentra paralelo al plano del suelo- se rota la High Roller en sentido antihorario alrededor del punto O. Sería t el ángulo determinado por el segmento OA con respecto a su posición inicial, y f la función que describe la altura del punto A con respecto al suelo en función de t.
Después de dos vueltas completas, f tiene el siguiente gráfico:
Adaptada de: en.wikipedia.org (2014)
La expresión de la función de altura se da por:
a) f(t) = 80sen(t) + 88
b) f(t) = 80cos(t) + 88
c) f(t) = 88 cos(t)+168
d) f(t) = 168sen(t) + 88 cos(t)
e) f(t) = 88 sen(t)+ 168cos(t)
Opción a) f(t) = 80sen(t) + 88
Para t = 0 la posición es 88.
cos(0) = 1
sen(0) = 0
Sustituyendo estos valores en la opción a, tenemos:
Problema 6
El valor máximo de la función real es:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1
d) 3
Opción correcta: c) 1
Respuesta explicada: El valor máximo ocurre cuando el valor del denominador es el menor posible.
El término 2+cos(x) debe ser el menor posible. Así, debemos pensar en el valor mínimo que cos(x) puede asumir.
La función cos(x) varía entre -1 y 1. Al sustituir el valor mínimo en la ecuación:
f(x)= 1
Problema 7
En el plano, con el sistema de coordenadas cartesianas usual, la intersección de los gráficos de las funciones reales de variable real f(x)=sen(x) y g(x)=cos(x) son para cada número entero k, los puntos P(xk, yk). Entonces, los posibles valores para yk son:
a) √2/2 y – √2/2.
b) √2/3 y – √2/3.
c) √3/2 y – √3/2.
d) √3/3 y – √3/3.
Opción correcta: a) √2/2 e – √2/2.
Queremos determinar los valores de intersección de las funciones seno y coseno que, dado que son periódicas, se repetirán.
Los valores de seno y coseno son iguales para los ángulos de 45° y 315°. Con la ayuda de una tabla de los ángulos notables, para 45°, los valores de seno y coseno son
. El producto de A 
tiene periodo de 3 π y un rango de [-5,5]. La ley de función es:
es:
donde t representa el intervalo entre sus apariciones en decenas de años. Supón que la última aparición del cometa fue registrada en 1982. Este cometa pasará cerca de la Tierra nuevamente en:
es:
