Productos notables

Revisado por Silvia Pina-Romero

Profesora de Matemática y Física

Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un producto que conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2$

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho$

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita a negrita por negrita b negrita más negrita b negrita por negrita a negrita más negrita b negrita por negrita b negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2$

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades

productos notables cuadrado de una suma — El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b.

Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:

un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.

Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)= (a+b)²

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+10)².

Cuadrado del primer término: x².
Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.
Cuadrado del segundo término: 10²=100.

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 10 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 20 negrita x negrita más negrita 100$

2) Desarrolle (7a²+5x³)².

Cuadrado del primer término: 7²(a²)²=49a⁴.
Dos veces el primero por el segundo: 2(7a²)(5x³)= 70a²x³.
Cuadrado del segundo término: (5)²(x³)²=25x⁶.

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 5 negrita x elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita 49 negrita a elevado a negrita 4 negrita más negrita 70 negrita a elevado a negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita 25 negrita x elevado a negrita 6$

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2$

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho$

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2$

Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:

$negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita b elevado a negrita 2$

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x-10)².

Cuadrado del primer término: x².
Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.
Cuadrado del segundo término: 10²=100

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 10 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 20 negrita x negrita más negrita 100$

2) Desarrolle (7a²-5x³)².

Cuadrado del primer término: 7²(a²)²=49a⁴.
Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a²)(5x³)= -70a²x³.
Cuadrado del segundo término: (5)²(x³)²=25x⁶.

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 negrita x elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita 49 negrita a elevado a negrita 4 negrita menos negrita 70 negrita a elevado a negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita 25 negrita x elevado a negrita 6$

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho$

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita ab negrita más negrita ab negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2$

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+1)(x-1).

Cuadrado del minuendo: x².
Menos el cuadrado del sustraendo: -(1²)=-1

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1$

2) Desarrolle (5a+3a²)(3a²-5a).

Cuadrado del minuendo: (3a²)²=9a⁴
Menos el cuadrado del sustraendo: -(5²a²)=-25a²

Respuesta:

$negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita a negrita más negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 negrita a negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 9 negrita a elevado a negrita 4 negrita menos negrita 25 negrita a elevado a negrita 2$

4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita c negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita menos negrita c negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2$

Regla del caso especial de la multiplicación de trinomios

La multiplicación de dos trinomios con dos términos positivos iguales, y un tercer término cuyo signo difiere en cada trinomio es el cuadrado del primer término, mas dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término, menos el cuadrado del tercero.

Ejemplos de multiplicación de trinomios

1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).

$negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 2 negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita más negrita 2 negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita xy negrita más negrita y elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4$

2) Desarrolle (a²-2a+3)(a²+2a+3).

$negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita a negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita a negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 2 negrita a negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 2 negrita a negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita a negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 4 negrita más negrita 6 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita menos negrita 4 negrita a elevado a negrita 2$

5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

En este caso se realiza lo siguiente:

los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.

Esto queda de la siguiente forma:

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho$

Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:

$negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita bc negrita más negrita c elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita bc negrita menos negrita c elevado a negrita 2$

Regla del caso especial de la multiplicación de trinomios

La multiplicación de dos trinomios con un término positivo igual, y los otros dos términos iguales en valor absoluto pero con signos diferentes en cada trinomio es el cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término, menos dos veces el primero por el segundo, menos el cuadrado del tercero.

Ejemplos de multiplicación de trinomios con números negativos

1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).

$negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita y negrita menos negrita z negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita x negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita x negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita yz negrita más negrita z elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita y elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita yz negrita menos negrita z elevado a negrita 2$

2) Desarrolle (x³-x²-x)(x³+x²+x).

$abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita x cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x cerrar paréntesis negrita igual negrita corchete izquierdo negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 4 negrita más negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos negrita x elevado a negrita 4 negrita menos negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita x elevado a negrita 2$

6. Cubo de la suma de dos cantidades

$negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 3$

En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:

$abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis$

Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):

$abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3$

Regla del cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (a+2)³.

Cubo del primer término: a³.
Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a²2=6a².
Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2)²=12a.
Cubo del segundo término: 2³=8.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita a negrita más negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 6 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 12 negrita a negrita más negrita 8$

2) Desarrolle (3+y²)³.

Cubo del primer término: 3³=27.
Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)²y²=27y².
Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y²)²=9y⁴.
Cubo del segundo término: (y²)³=y⁶.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita 3 negrita más negrita y elevado a negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita 27 negrita más negrita 27 negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita y elevado a negrita 6$

7. Cubo de la resta de dos cantidades

$abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3$

En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:

$abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis$

Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):

$abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3$

Regla del cubo de la resta de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos con soluciones paso a paso

1) Desarrolle (x-2)³.

Cubo del primer término: x³.
Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)²2=-6x².
Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(2²)=12x.
Menos el cubo del segundo término: -(2³)=-8.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 12 negrita x negrita menos negrita 8$

2) Desarrolle (a²-2b)³.

Cubo del primer término: (a²)³=a⁶.
Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a²)²(2b)=-6a⁴b.
Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a²)(2b)²=12a²b².
Menos el cubo del segundo término: -(2b)³=-8b³.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 6 negrita menos negrita 6 negrita a elevado a negrita 4 negrita b negrita más negrita 12 negrita a elevado a negrita 2 negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 negrita b elevado a negrita 3$

8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

$abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis$

Primer caso

$abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab$

Segundo caso

$abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab$

Tercer caso

$abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita menos negrita ab$

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+7)(x+2).

Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x².
Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2)x=9x.
Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2)=14.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 7 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita x negrita más negrita 14$

2) Desarrolle (x+5)(x-2).

Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x².
Suma de los segundos términos por el primer término: [(5)+(-2)]x=3x.
Producto de los segundos términos de los binomios: (5)(-2)=-10.

$abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 5 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita menos negrita 10$

3) Desarrolle (x-10)(x-5).

Producto de los primeros términos de los binomios: (x²)(x)=x³.
Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10)+(-5)]x=-15x.
Producto delos segundos términos de los binomios: (-10)(-5)=50.

Respuesta:

$abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 10 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 5 cerrar paréntesis negrita igual negrita x negrita menos negrita 15 negrita x negrita más negrita 50$

Vea también:

Ejercicios resueltos

1. (2x+2y)²

4x²+8xy+4y²

2.(2mn+3)²

4m²n²+12mn+9

3.(ax+5y)²

a²x²+10axy+25y²

4.(4x²+m²y)²

16x⁴+8x²m²y+m⁴y²

5.(2x-y)²

4x²-4xy+jy²

6. (ae²-10)²

a²e⁴-20ae²+100

7. (x⁴-1)²

x⁸-2x⁴+1

8. (2n-3z)²

4n²-12nz+9z²

9. (2a-1)(1+2a)

4a²-1

10. (y²-3y)(y²+3y)

y⁴-9y²

11. (8xy+1)(1-8xy)

1-64x²y²

12. (2m+9)(2m-9)

4m²-81

13. (n-9)(n+10)

n²+n-90

14. (x²+5)(x²+20)

x⁴+25x²+100

15.(x-27)(x-7)

x²-34x+189

16. (ab+5)(ab-6)

a²b²-ab-30

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Revisado por Silvia Pina-Romero

Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (2007) y doctora en Matemáticas por la Universidad de Manchester (2012).

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades

Ejemplos con solución paso a paso

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

Ejemplos con solución paso a paso

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

Ejemplos con solución paso a paso

4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

Regla del caso especial de la multiplicación de trinomios

Ejemplos de multiplicación de trinomios

5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

Regla del caso especial de la multiplicación de trinomios

Ejemplos de multiplicación de trinomios con números negativos

6. Cubo de la suma de dos cantidades

Regla del cubo de la suma de un binomio

Ejemplos con solución paso a paso

7. Cubo de la resta de dos cantidades

Regla del cubo de la resta de un binomio

Ejemplos con soluciones paso a paso

8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

Primer caso

Segundo caso

Tercer caso

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

Ejemplos con solución paso a paso

Ejercicios resueltos

Ver también