Factorizamos cuando reescribimos una expresión numérica o algebraica como una multiplicación.
Si la expresión es numérica, los factores suelen ser números primos, por ejemplo, la factorización de 385 es
385 = 7*5*11.
Si la expresión es algebraica, la factorización son otras expresiones algebraicas más pequeñas, por ejemplo
x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)
Existen diferentes métodos para factorizar y no hay una regla específica que te diga cuál debes usar, por lo que se requiere práctica y experiencia.
A continuación se presentan los siguiente métodos:
- Factorización en números primos
- Factor común
- Factorización binomial de un trinomio cuadrado
- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
- Factorización de una ecuación cuadrática por agrupamiento
- Factorización una ecuación cuadrática por ensayo y error
- Factorización de cuatro términos por agrupamiento
- Factorización de binomios
- Ejemplos de factorización resueltos
- Ejercicios de factorización (con respuesta)
Factorización en números primos
¿En qué casos se usa? Cuando la expresión es numérica, es decir, no tiene variables.
¿Cómo se hace? Utiliza una tabla de números primos para identificar cuáles primos dividen a la expresión original. Un número primo es aquel que es divisible únicamente entre 1 y él mismo. Por ejemplo, el 2 es primo porque solamente se puede dividir entre 1 y 2.
Paso 1. Escribe tu expresión numérica y una línea vertical a su derecha.
Paso 2. Comienza con el primo más pequeño de la tabla (el 2) ¿este número divide a tu expresión original? Si la respuesta es sí, escríbele del lado derecho de la línea y pon el resultado de la división debajo de la expresión original.
Paso 3. Repite el procedimiento anterior para el resultado de la división. Si el primo que esta evaluando no divide a la expresión, pasa el siguiente primo de la lista.
Paso 4. Repite el procedimiento hasta agotar a los posibles primos divisores.
La factorización será el producto de los números que anotaste a la derecha de la línea. En este caso, la factorización de 1540 es:
Vea también: Números primos
Factor común
¿En qué casos se usa? Usualmente en polinomios de 2 o más términos que comparten al menos una variable o un factor en los coeficientes.
¿Cómo se hace? Primero se determina cuál es el factor común entre los términos, luego se calculan los factores correspondientes y finalmente se reescribe la expresión.
Encontraremos el factor común del siguiente polinomio:
Paso 1. Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.
Paso 2. Conseguimos los factores comunes de las variables. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.
Paso 3. Escribimos el factor común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:
Ahora podemos pasar a factorizar la expresión original.
Paso 4. Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor común para obtener un segundo factor.
Paso 5. Sustituimos cada término por el factor común y el segundo factor respectivo.
Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.
Paso 6. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común.
Paso 7. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la expresión factorizada.
Factorización binomial de un trinomio cuadrado
¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma x2 ± bx ± c y podemos encontrar factores de c cuya suma es b. Los signos ± indican que pueden ser positivos o negativos.
¿Cómo se hace? Se buscan dos números r y s, tales que x2 ± bx ±c = (x ± r)(x ± s)
Paso 1. Una vez ordenada la expresión se determina el valor de los coeficientes c y b con todo y su signo correspondiente.
Paso 2. Factorizar c en dos factores (¿Qué parejas de números tienen como producto c?)
En este caso, las parejas que factorizan c = -15 son (-15,1), (15,-1), (-5,3) y (5,-3)
Paso 3. De las parejas anteriores que factorizan c ¿alguna cumple que sumándolas (con su respectivo signo) el resultado sea el valor de b? En caso afirmativo, esos números formaran los factores y serán de la forma (x ± factor1) ((x ± factor2)
Suma de cada pareja:
- -15 + 1 = -14 ≠ b
- -1 + 15 = 14 ≠ b
- -5 + 3 = -2≠ b
- 5 - 3 = 2 = b que corresponde a la pareja (5,-3)
La expresión factorizada es:
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma ax2 ± bx + c y se cumple que ax2 y c tienen raíces cuadradas exactas, tales que al multiplicar una por la otra y duplicar el resultado, se obtiene el término medio.
¿Cómo se hace? Primero se ordenan los términos para que queden en orden descendiente de grado, luego se calculan las raíces cuadradas del primer y tercer término, se verifica que dos por el producto éstas sea el segundo término. Para terminar se reescribe la expresión factorizada como ax2 ± bx + c = (√ (ax2) ± √ c )2 El signo del segundo término de la expresión del lado derecho debe ser igual al signo del término medio del lado izquierdo.
Paso 1. Ordenamos la expresión para que el grado de los términos vaya de mayor a menor.
Paso 2. Calculamos las raíces del primer y tercer término
Paso 3. Verificamos que el doble producto de las raíces anteriores sea igual al segundo término de la expresión
Paso 4. Escribimos la expresión factorizada. El signo del segundo término de la expresión ordenada, es decir b, determina el signo de del binomio que factoriza (están marcados en rojo).
Factorización de una ecuación cuadrática por agrupamiento
¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrático de la forma ax2 ± bx + c que no es factorizable por los métodos anteriores.
¿Cómo se hace? Construiremos dos binomios que factoricen la expresión, para esto buscamos los factores 1 y 2 tales que (x ± factor1) (x ± factor2) = ax2 ± bx + c, la búsqueda se hace proponiendo los factores y checando si se obtiene el resultado esperado. Es aconsejable considerar algunos aspectos para proponer los factores adecuados como se explica en los pasos a continuación.
Paso 1. Se ordenan los términos para que el grado de los términos sea decreciente.
Paso 2. Buscamos dos factores binomios. En este caso, 4x2 es el primer término, así que la multiplicación de los primeros coeficientes numéricos de los binomios debe ser 4. El último término es -3, así los últimos términos de los factores tienen signos diferentes cuyo producto es -3.
Podemos probar varias combinaciones:
Esta opción es incorrecta.
Esta opción es incorrecta.
Esta es la opción correcta, entonces la factorización es (4x+1)(x-3)
Factorización una ecuación cuadrática por ensayo y error
¿En qué casos se usa? Cuando tenemos una expresión de la forma ax2 ± bx + c que no es factorizable por los métodos anteriores.
¿Cómo se hace? Para factorizar por agrupamiento, identificamos los coeficientes a, b y c y buscamos dos factores del producto ac cuya suma es b. Luego se sustituye el término medio por los factores encontrados de forma que se puede aplicar la factorización por factor común dos veces.
Paso 1. Escribimos los coeficientes de la expresión original.
Para la ecuación
Los coeficientes son a=4, b=-11 y c=-3.
Paso 2. Encontramos factores del producto ac, cuya suma es b.
En este caso el producto ac=(4)(-3)=-12 y dos factores de -12 que sumados dan -11 son -12 y 1.
Paso 3. Reemplazamos el término medio.
Paso 4. Agrupamos los términos en pares y buscamos el factor común
Paso 5. Volvemos a factorizar por factor común usando la propiedad distributiva.
Paso 6. Reescibimos la expresión factorizada.
Vea también Ecuaciones cuadráticas de segundo grado.
Factorización de cuatro términos por agrupamiento
¿En qué casos se usa? En polinomios con cuatro términos en los que dos términos tienen una variable y los otros dos tienen otra en común, es decir, hay un total del 2 variables.
¿Cómo se hace? Se reordena el polinomio para que los términos con la misma variable queden juntos, y sobre ellos se usa la factorización por factor común. Sobre el resultado de esta primera factorización, se vuelve a aplicar la factorización por factor común.
Paso 1. Dado el polinomio
Reordenamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:
Paso 2. Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:
Paso 3. Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión y reescribimos.
Factorización de binomios
¿En qué casos se usa? Cuando tenemos una expresión de la forma:
- (x2-y2) Que se conoce como diferencia de dos cuadrados
- (x3-y3) Llamada diferencia de dos cubos
- (x3+y3) Conocida como suma de dos cubos
¿Cómo se hace? Dependiendo del caso se sigue la fórmula correspondiente, para lo que se deben calcular las raíces cuadradas o cúbicas de los términos involucrados.
- La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x2-y2) es:
Ejemplo:
- La factorización de la diferencia de dos cubos (x3-y3) es:
Ejemplo:
- La factorización de la suma de dos cubos (x3+y3) es:
Ejemplo:
Vea también
Recomendaciones:
- Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
- Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
- Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
- Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.
Ejemplos de factorización resueltos
1. Factorizar la siguiente expresión:
Paso 1. El factor común es (x-1).
Paso 2. Aplicar la propiedad distributiva al factor (x-1):
2. Factorizar la siguiente expresión:
Paso 1. Tomamos como factor común 25x2y2z
Paso 2. Factorizamos la diferencia de dos cuadrados que es 4x2-1.
Paso 3. La forma factorizada completa es:
3. Factorizar la siguiente expresión:
Paso 1. Esta expresión es una ecuación cuadrática, entonces buscamos por factores binomiales:
Paso 2. Buscamos dos número que multiplicados den -30 y sumados den -7. Probamos con -10 y 3:
Paso 3. La forma factorizada es:
4. Factorizar la siguiente expresión:
Paso 1. Observamos que esta expresión tiene cuatro términos. Los agrupamos en pares de forma que podamos conseguir un factor común:
Paso 2. Factorizamos el binomio cuadrado (x2-1):
Paso 3. La forma factorizada final es:
Ejercicios de factorización (con respuesta)
Vea también: Números reales
