Los productos notables son productos de expresiones algebraicas que tienen reglas definidas. Dado que aparecen con frecuencia, su aplicación facilita la determinación de los resultados.
Observa estos ejemplos de ejercicios resueltos y comentados para que aclares tus dudas sobre este contenido relacionado con las expresiones algebraicas.
Ejercicio 1
Desarrolle la siguiente expresión
Respuesta:
Para desarrollarlo, utilizamos la regla:
cuadrado del primer término más,
dos veces el primer término por el segundo más,
el cuadrado del segundo término.
Desarrollo:
Ejercicio 2
Desarrolle la siguiente expresión
Respuesta:
La expresión es un cubo de la suma. Para desarrollarla, utilizamos:
Cubo del primer término más,
tres veces el cuadrado del primer término por el segundo más,
tres veces el primer término por el cuadrado del segundo más,
el cubo del segundo término.
Desarrollo:
Ejercicio 3
Desarrolle la siguiente expresión
Esta expresión es un producto notable conocido como la diferencia entre dos cuadrados. Para desarrollarlo, utilizamos la siguiente regla:
El primer término más el segundo, multiplicado por la resta entre el primero y el segundo.
Desarrollo:
Ejercicio 4
Al entrar en su sala de clases, Pedro encontró las siguientes anotaciones en la pizarra:
Utilizando sus conocimientos de productos notables, Pedro determinó correctamente el valor de la expresión a² + b². Ese valor es:
a) 26
b) 28
c) 32
d) 36
Respuesta correcta: b) 28
Para encontrar el valor de la expresión, vamos a usar el cuadrado de la suma de dos términos, es decir:
Como queremos encontrar el valor de aislaremos esos términos en la expresión anterior, entonces tenemos:
Por lo tanto, Pedro determinó correctamente el valor de la expresión a2 + b2 ,que es 28.
Ejercicio 5
El producto es igual a:
a) 6
b) 1
c) 0
d) - 1
e) - 6
Respuesta correcta: b) 1
Para resolver este producto, podemos aplicar el producto notable de la suma por la diferencia de dos términos, es decir:
Así
Por tanto, el producto es igual a 1.
Ejercicio 6
El valor numérico de la expresión está comprendido en el intervalo:
a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[
Respuesta correcta: d) [60,70[
Como la operación entre los términos de la radicación es una resta, no podemos extraer los números de dentro del radical.
Primero debemos resolver la potenciación, luego restar y tomar la raíz del resultado. El problema es que calcular estas potencias no es muy rápido.
Para facilitar los cálculos, podemos aplicar el producto notable del producto de la suma por la diferencia de dos términos, de esta manera tenemos:
Como se solicita en qué intervalo está comprendido el número, debemos notar que el 60 aparece en dos alternativas.
Sin embargo, en la alternativa c, el corchete después del 60 está abierto, por lo tanto, ese número no pertenece al intervalo. En cambio, en la alternativa d, el corchete está cerrado e indica que el número pertenece a ese intervalo.
Por lo tanto, el valor está comprendido en el intervalo [60, 70[
Ejercicio 7
Considera p y q como números reales no nulos y no simétricos. A continuación, se describen seis afirmaciones que involucran estos números, y cada una de ellas está asociada a un valor indicado entre paréntesis.
La opción que representa la suma de los valores correspondientes a las afirmaciones verdaderas es:
a) 190
b) 110
c) 80
d) 20
Respuesta correcta: c) 80
I) Desarrollando el cuadrado de la suma de dos términos tenemos:
, por tanto, tal afirmación es falsa.
II) Por la propiedad de la radicación de la multiplicación de raíces del mismo índice, la afirmación es verdadera.
III) En este caso, como la operación entre los términos es una suma, no podemos extraer de la raíz directamente. Primero, necesitamos realizar la potenciación, sumar los resultados y luego extraer la raíz. Por lo tanto, esta afirmación también es falsa.
IV) Dado que entre los términos tenemos una suma, no podemos simplificar q. Para poder realizar la simplificación, es necesario descomponer la fracción:
Así, esta alternativa es falsa.
V) Dado que hay una suma entre los denominadores, no podemos separar las fracciones, debiendo resolver primero esa suma. Entonces, esta afirmación también es falsa.
VI) Escribiendo las fracciones con un único denominador, tenemos:
Dado que tenemos una fracción de fracción, resolvemos repitiendo la primera, cambiándola a multiplicación e invirtiendo la segunda fracción, de la siguiente manera:
por tanto, esta afirmación es verdadera.
Al sumar las alternativas correctas, tenemos 20 + 60= 80
Luego, la opción que representa la suma de los valores correspondientes a las afirmaciones verdaderas II (20) y VI (60), es c) 80.
Ejercicio 8
Si x e y son dos números reales positivos, entonces la expresión
a) √xy.
b) 2xy.
c) 4xy.
d) 2√xy.
Respuesta correcta: c) 4xy.
Al desarrollar el cuadrado de la suma de dos términos, tenemos:
Por tanto, si x y y son dos números reales positivos, así la expresión
es igual a:
está comprendido en el intervalo:
